Berechnung von Flächeninhalten durch Integration

1. Gegeben sind die beiden Funktionenscharen fk(x) = 15k und gk(x )= -kx²+8kx; k aus IR plus; x aus IR. Die Scharen der dazu gehörenden Graphen werden mit Fk und Gk bezeichnet.
a) Bestimmen sie allgemein in Abhängigkeit von k Art und Koordinaten der Extrempunkte von Gk.
b) Berechnen sie wiederum in Abhängigkeit von k die Koordinaten der Schnittpunkte von Fk und Gk [Teilergebnis: Sk(3;ysk); Tk(5;yTk)].
c) Zeichnen sie die Graphen F0,5 und G0,5 im Intervall [0;8] (1LE = 1cm, y-Achse im Abstand von 5cm vom linken Blattrand).
d) Berechnen sie allgemein in Abhängigkeit von k den Inhalt A(k) des von Fk und Gk eingeschlossenen Flächenstücks.
e) Die Tangente tk an Gk im Punkt Sk(vgl.1.b) hat die Gleichung tk(x)=2kx+9k (Ein Nachweis ist nicht verlangt) zeichnen sie für k=0,5 die Tangente t0,5 in das Koordinatensystem von 1.c ein.
f) Berechnen sie k so, dass das von der negativen x-Achse, der Tangente tk und dem Graphen Gk eingeschlossene Flächenstück den Inhalt von 117FE hat. Integral- und Stammfunktion.

2. Gegeben sind die Funktionen f(x)=-6sin3x; x aus IR und F(x)=2cos3x-5; x aus IR. Begründen sie ausführlich, warum F zwar Stammfunktion, aber keine Integral-funktion zu f ist.

3. Schreiben sie als Integralfunktion mit geeigneter unterer Integrationsgrenze a aus IR plus: h(x)=3/4 x²-3x; x aus IR