Berechnung von Polynomen

Gliederung

• Aufgabe
• Musterlösung
• Allgemeine Funktionsgleichungen
• Umsetzen der Bedingungen und Aufstellung des Gleichungssystems
• Lösen des Gleichungssystems

Aufgabe

f sei eine Polynomfunktion dritten Grades. G(f) verläuft durch P(1|4). W(3|6) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit der Abszisse 4
verläuft waagerecht.
Bestimme den Funktionsterm!

Musterlösung

Allgemeine Funktionsgleichungen

allgemeiner Funktionsterm: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
1. Ableitung: f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
2. Ableitung f''(x) = 6ax + 2b

Umsetzen der Bedingungen und Aufstellung des Gleichungssystems

f(1) = 1a + 1b + 1c + d = a + b + c + d = 4
f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 6
f'(4) = 48a + 8b + c = 0
f''(3) = 18a + 2b = 0 a = 1 b = -9 c = 24 d = -12

1. a + b + c + d = 4
2. 27a + 9b + 3c + d = 6
3. 48a + 8b + c = 0
4. 18a + 2b = 0

II - I: 26a + 8b + 2c = 2 /:2

1. 13a + 4b + c = 1

III - V: 35a + 4b = -1

1. 35a + 4b = -1

Lösen des Gleichungssystems

Auflösen von IV nach b: b = -9a
Einsetzen von b in VI: 35a + 4(-9a) = -1

35a - 36a = -1
a = 1
b = -9, da b = -9a

Einsetzen von a, b in V: 13 - 36 + c = 1

c = 24

Einsetzen von a, b, c in I: 1 - 9 + 24 + d = 4
d = -12

Funktionsterm: f(x) = x3 - 9x2 + 24x - 12