Matura 1990

Gliederung

• Analytik im Raum
• Extremwert
• Kurvendiskussion
• Wahrscheinlichkeit

Analytik im Raum

Die Punkte A(3/-2/0), B(4/6/3) und C(6/2/-1) sind die Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze D(5/1/13).
a) Berechne die Pyramidenhöhe und die Koordinaten ihres Fußpunktes!
b) Wie groß ist der Abstand der Geraden durch P(6/4/9) und den Schwerpunkt S des Manteldreiecks BCD von der Pyramidenspitze?

Extremwert

Ein Blechbehälter mit einem Fassungsvermögen von 312 Liter soll folgende Gestalt haben:
Der Grund- bzw. Deckfläche eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h werden eine Halbkugel bzw. ein Kegel aufgesetzt. Die Kegelhöhe soll sich zum Radius wie 4:3 verhalten.
a) Wie sind der Radius und die Zylinderhöhe zu wählen, damit das zur Herstellung des Behälters benötigte Material möglichst gering ist?
b) Wie viel Blech wird dann verbraucht?

Kurvendiskussion

Von einer Funktion f ist die zweite Ableitung f''(x) = 3/4 x - 3 bekannt. Außerdem weiß man, dass die Tangente des Funktionsgraphen im Punkt P(4/6) die Steigung k = -3/2 besitzt.
a) Berechne die Funktionsgleichung von f.
b) Berechne Extrema und Wendepunkte.
c) Skizziere den Graphen im Intervall [-1/7].
d) Berechne den Inhalt jener Fläche, die vom Funktionsgraphen, der Wendetangente und der y-Achse eingeschlossen ist.

Wahrscheinlichkeit

Um einen Seminarplatz zu bekommen, müssen alle Studenten entweder aus Mathematik oder aus Physik eine Prüfung ablegen. Kein Student tritt zu beiden Prüfungen an. Durchschnittlich entscheiden sich 75% für Mathematik, der Rest macht die Prüfung aus Physik. Eine Untersuchung der Prüfungsergebnisse zeigte, dass 12% der Studenten, die in Mathematik angetreten sind, durchgefallen waren. Bei den Physikprüfungen betrug die Durchfallsquote 23%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat durchfällt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat, der die Prüfung bestanden hat, aus Physik angetreten ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 12 Prüfungen genau drei Kandidaten nicht bestehen?